교과서 옆에 두고 보는 새로운 개념의 수학 교과서 수학의 흐름을 이해하는 ‘개념수학’부터 창의적 문제해결력을 키우는 ‘융합수학’까지!
중학 수학은 수학 교육 전체 과정에서 수학의 핵심 개념과 각 단원별로 파생되는 공식, 그 공식이 탄생하게 된 배경 원리를 배우는 단계이다. 즉 중학 수학은 암기 위주의 빠른 학습이 아니라, 하나의 개념을 익히더라도 그 개념이 어떻게 다른 단원과 관련이 되는지까지 꼼꼼히 따져보고, 그 개념을 심화해보는 과정의 시작인 것이다. 단편적인 개념 알기가 아니라 포괄적인 개념을 이해할 수 있어야 하며, 자신이 이해한 개념을 바탕으로 문제를 해결하는 과정을 습득해 나가는 것이 바로 중학 수학이다. 그러므로 중학 수학을 공부하면서 개념과 배경 원리에 대한 이해를 도외시한다는 것은 핵심을 피해 학습하는 무의미한 공부법이 될 수 있다.
중1․중2․중3 편으로 구성되어 이번에 완간된 〈중학생이 알아야 할 수학의 절대지식 시리즈〉는 중학 수학의 핵심 개념에 대한 확실한 이해와 함께 수학과 관련된 다양한 배경지식을 자연스럽게 접할 수 있는 새로운 개념의 수학 교과서이다. 중학교 1학년은 수의 개념과 사칙계산, 간단한 도형의 성질 등을 다루었던 초등학교 수학에 비해 문자를 쓰는 식이 등장하고, 기억해둬야 할 용어나 법칙, 공식들이 많아서 수학을 포기하는 시기가 되기도 한다. 『중1이 알아야 할 수학의 절대지식』은 이러한 때 수학에 대한 관심과 흥미를 높여 학습에 대한 자신감을 키우고, 수업에 적극적으로 참여할 수 있는 계기를 만들어주었다.
『중2가 알아야 할 수학의 절대지식』은 1학년 수학과 3학년 수학의 교량적 역할을 하는 2학년 과정을 중심으로 수학의 원리와 개념을 이해하며, 실생활 응용문제를 통해 수학적 추론능력과 종합적인 사고력을 향상시킬 수 있도록 했다. 이번에 출간된 『중3이 알아야 할 수학의 절대지식』 또한 반복적인 문제풀이 해법을 제시하는 것이 아니라 중학 수학의 전체 흐름 가운데서 중3 수학의 주요 내용을 이해할 수 있도록 구성했다. 개념이나 원리를 모른 채 수학 100문제를 기계적으로 푸는 것보다 수학의 개념과 원리를 정확히 알고 확실히 이해한 후 10문제를 푸는 것이 더 효과적임을 깨닫게 될 것이다.
『친절한 수학 교과서』 꼼지샘에게 배우는 중학 수학의 모든 것! 새로운 교육과정에 맞춘 영역별, 주제별 수학 이야기
26년 동안 수학 시(詩) 짓기, 수학 만화 그리기, 수학 일기 쓰기, 수학 신문 만들기 등 다양한 방법을 통해 재미있는 수학 시간을 꾸려오며 수많은 학생들을 ‘수학은 재미없고 어렵다’는 편견에서 벗어나게 해준 친절한 수학 선생님 ‘꼼지샘’이 학교 공부를 꽉 잡는 개념수학부터 논리적 사고를 키우는 융합수학까지 함께 배울 수 있는 〈중학생이 알아야 할 수학의 절대지식〉 시리즈를 내놓았다. 나긋나긋 학생들과 대화하듯 수학의 원리와 기초 개념을 풀어내고, 더불어 수학과 관련된 역사적 에피소드와 실제 일상생활에서 접할 수 있는 응용 사례까지 들려주어 친절한 꼼지샘의 수업 시간을 그대로 옮겨놓은 듯한 이 시리즈는 중학교 수학 교과서에 맞추어 영역별, 주제별로 구성된 이야기 수학책이다.
『중3이 알아야 할 수학의 절대지식』은 중3 수학 교과서에 있는 내용이면서 반드시 알아둬야 하는 개념들을 교과서 체계에 맞춰 정리했다. 크게 6개의 마당, 실수와 연산, 인수분해와 이차방정식, 이차함수, 통계, 피타고라스 정리와 삼각비, 원의 성질로 나누었다. 그중에 분명하게 이해하고 넘어가야 할 공식 원리와 개념은 ‘교과’에, 수학의 전체 모습을 보기 위해 필요한 재미있는 수학 이야기는 ‘융합’으로 나누어 설명했다. 이 책은 암기나 수식을 계산해야 하는 문제풀이식 구성이 아니라, 수학의 개념과 성질을 학생들이 이야기를 통해 쉽게 이해할 수 있도록 구성하여, 교과서와 똑같은 흐름을 천천히 따라가다 보면 자연스럽게 개념이 이해가 되고, 이는 문제해결력으로 이어져 조금씩 수학 공부의 즐거움에 빠져들 수 있을 것이다. 또한 꼼지샘 나숙자 선생님의 가장 큰 장점 중 하나인 쉽고 논리적인 접근은 학생들까지도 자연스럽게 논리적인 사고를 할 수 있는 습관을 만들어줄 것이다.
지은이 소개
■ 지은이 | 꼼지샘 나숙자 전남대학교 사범대 수학교육과와 이화여자대학교 교육대학원에서 수학 교육을 전공했다. 지난 26년 동안 노화중, 성전중, 구로중, 구일중, 백석중, 성재중, 강신중 등에서 학생들에게 수학을 가르쳤다. 재미있고 효과적인 교육 방법에 대한 관심은 자연스레 즐거운 수학 수업에 대한 고민으로 이어졌고, 학생들이 수학과 친근해지도록 수학 시 짓기, 수학 만화 그리기, 수학 일기 쓰기, 수학 신문 만들기 등 다양한 방법을 시도하였다. 방과 후에는 학교에서 ‘학부모 수학 교실’을 운영하여 학부모들이 직접 아이들을 가르칠 수 있도록 힘썼다. 지금까지 『친절한 수학 교과서 1․2․3』 『친절한 도형 교과서 1․2․3』 『칸토어가 들려주는 집합 이야기』 『꼼지샘의 친절한 수학 중1․중2․중3』 『중1이 알아야 할 수학의 절대지식』 『중2가 알아야 할 수학의 절대지식』 『중3이 알아야 할 수학의 절대지식』 등을 펴내며, 옛날이야기처럼 재미있는 수학 이야기를 쓰기 위해 노력 중이다.
목차
첫째 마당_ 실수와 그 연산 연산이 뭐야? 사칙연산과 닫혀 있다 3대 연산법칙을 아니? 추리의 3인방 : 귀납과 유추, 연역 수학적인 사실을 귀납, 연역으로 설명해 봐 일반화가 뭐야? 제곱과 제곱근도 조립과 분해의 개념을 품고 있어 제곱과 제곱근 제곱수가 아닌 수의 제곱근을 나타내 봐 수학이 인간의 호기심을 해결한다 무리수를 알게 되면 실수가 보인다
! 넌 유리수니 무리수니? 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변 길이 주어진 정사각형 넓이의 딱 2배를 그리라고? 실수와 수직선은 일대일대응이다 옳다 vs 틀리다 무리수의 필요성을 석굴암에서 찾을 수 있다고? 근호를 포함한 식으로 표현해 봐 제곱근의 사칙계산! 곱하고 나눠 봐 제곱근의 사칙계산! 더하고 빼 봐 분모를 유리화하면 여러모로 편리하다 분자를 유리화하지 않는 이유?
둘째 마당_ 인수분해와 이차방정식 수처럼 다항식도 분해할 수 있을까?
인수분해의 기본은 공통인수 찾기야
인수분해에도 공식이 있다고?
인수분해! 너는 소인수분해와 무엇이 다른 거야? 소인수분해를 도와주는 인수분해 소인수분해와 인수분해 중 누가 형이야? 인수분해는 왜 하는 거야? 수학적으로 생각한다는 것은? 이차방정식이 궁금해이차방정식은 어떻게 푸는 거야? 근의 공식을 직접 만들어 봐기원전에도 이차방정식 문제를 풀 수 있었다고? A4 용지 속의 금강비 전지 A0의 두 변의 길이는? 정오각형 속의 황금비 이차방정식 문제 트램펄린에도 이차방정식이 있다 이차방정식의 근은 2개이다. 참일까, 거짓일까? 이차방정식을 풀기도 전에 미리 근의 개수를 점칠 수 있다고?
근과 계수의 관계
셋째 마당_ 이차함수 이차함수란 무엇일까? 이차함수 그래프와 포물선이차함수의 그래프는 어떻게 그리는 거야? 이차함수와 y=ax²의 그래프
이차함수 y=ax²+q의 그래프
이차함수 y=a(x-p)²의 그래프
이차함수 y=a(x-p)²+q(표준형)의 그래프
이차함수y=ax²+bx+c(일반형)의 그래프 이차함수 일반형을 표준형으로 고쳐 봐 이차함수의 최댓값과 최솟값 1 이차함수의 최댓값과 최솟값 2 곡선은 신의 작품이라고? 에너지가 부족하다고? 태양광 에너지는 어때? 과학 실험을 할 때도 함수가 필요하다 번지점프가 무서운 이유? 이차함수는 공포와 아름다움을 한 몸에 학원장은 알고 있었을까? 수완이 좋다는 것은? 영화 〈쥬라기 공원〉과 카오스 이론 그리고 함수
넷째 마당_ 통계 애널리스트는 대푯값과 산포도를 알아야 해 평균이 최고는 아니야? 아웃라이어는 제외하자고? 평균, 중앙값, 최빈값은 모두 대푯값이다 도수분포표를 이용해서 평균을 구해 봐 산포도와 표준편차 산포도 중에 분산과 표준편차는 어떻게 구하는 거야? 분산과 표준편차 1 분산과 표준편차 2
다섯째 마당_ 피타고라스 정리와 삼각비 피타고라스 정리의 유래 피타고라스 정리를 발견하기까지 피타고라스 정리를 증명하고 싶다고? 그림으로 피타고라스 정리를 확인해 보자 피타고라스 정리가 어디에 쓰여? 대각선의 길이를 구할 수 있어(평면도형) 정삼각형의 높이를 구할 수 있어 특수한 직각삼각형의 길이를 구할 수 있어 두 점 사이의 거리를 구할 수 있어 대각선의 길이를 구할 수 있어(입체도형) 뿔의 높이와 부피를 구할 수 있어 삼각법은 뭐야? 삼각비는 뭐야? 특수한 각의 삼각비 삼각비의 유용성은 뭐지? 예각의 삼각비의 값을 구할 수 있다 삼각비의 표도 직접 만들 수 있다고?삼각비의 2대 역할 뱃멀미가 느껴지면 가운데 자리로 가서 앉아 여행할 땐 클리노미터를 챙기자 에베레스트 산의 높이를 클리노미터로 구해 봐 피라미드에 숨어 있는 비밀
여섯째 마당_ 원의 성질 원이란? 원의 현은 어떤 성질을 가지고 있나? 원의 접선은 어떤 성질을 가지고 있나? 원의 원주각과 중심각은 또 어떤 성질이 있을까?
원주각을 활용해 봐 1
원주각을 활용해 봐 2
원과 두 직선(할선)이 만나면?
원의 접선과 할선 사이에는? 네 점이 한 원 위에 있으려면?
직선으로 부드러운 곡선을 그릴 수 있다 아르벨로스 도형의 비밀 톨스토이는 알고 있었을까? 맨홀 뚜껑으로 원 모양이 좋은 이유? 이차원을 벗어나면?
본문 속으로
석굴암은 신라 천년의 도시 경주에 있다. 그리고 경주는 도시 전체가 유네스코에 등재되어 있는 세계가 인정하는 고대 도시 중의 하나이다. 물론 석굴암 또한 경주와는 별개로 세계문화유산으로 등재되어 있다. 그럼 이제 본격적으로 석굴암이 세계문화유산이 될 수 있었던 이유를 수학적인 관점에서 찾아보자. 석굴암의 건설 기간은 총 40년에 육박했다고 한다. 전문가들은 이렇게 긴 시간이 소요된 주된 이유로 돌로 된 반구형 돔 형태의 천장을 들고 있다. 다음 사진과 같이 원기둥 위에 반구를 올려놓는 식으로 무거운 돌을 천장에 고정시켰으니 건축하기가 어디 쉬웠겠는가? 그렇다고 석굴암이 이와 같은 고도의 건축 기술만으로 세계적 문화유산이 될 수 있었던 것은 아니다. 건축 기술뿐만 아니라 석굴암의 반구형 천장에는 아름다움에 대한 수학적인 비밀도 함께 숨겨져 있다. 석굴암은 돔을 이룬 반구 반지름의 길이와 불상의 높이의 비가 1 : 를 이룬다고 한다. 즉 불상의 높이가 반구 반지름 길이의 배인 셈이다. 이와 같은 비, 1 : 를 ‘금강비’ 또는 ‘동양의 황금비’라고 한다. 동양의 황금비, 금강비를 이용하여 지은 건축물들은 모두 조화롭고 안정적으로 보인다고 하니 시간 내서 직접 감상해 보도록 하자. ― 「무리수의 필요성을 석굴암에서 찾을 수 있다고?」 중에서
함수는 변화하는 두 양 사이의 관계로부터 태어난다. 그래서 함수에는 그 변화 상태를 관찰하고 측정하는 실험 과정이 필수적으로 요구된다. 그렇다면 실험 과정을 거쳐 조사한 것들이라면 모두 수학적인 함수라고 할 수 있는 것일까? 물론 그렇지는 않다. 『중1이 알아야 할 수학의 절대지식』의 넷째 마당에서 언급한 바 있듯이, 실험 과정을 거쳤더라도 그 변화 상태가 불규칙적이어서 두 양 사이의 관계를 식으로 나타낼 수 없다면 그 함수는 수학에서 다루어지지 않는다. 17세기 이탈리아 천문학자인 갈릴레이(Galileo Galilei)는 자유낙하실험으로 규칙적인 변화를 찾아낸 과학자이다. 그러니까 실험을 통해 변화 과정을 관찰한 최초의 인물이 갈릴레이였던 것이다. 사실 갈릴레이가 함수를 발견했던 것은 아니지만 그가 실험의 중요성을 발견함으로써 함수의 탄생이 앞당겨진 것은 분명하다. 이렇게 함수의 역사에서 중요한 의미를 가지는 갈릴레이의 자유낙하실험! ― 「과학 실험을 할 때도 함수가 필요하다」 중에서
‘피타고라스 정리’는 기원전 500년경에 살았던 고대 그리스의 수학자 피타고라스(Pythagoras)의 이름에서 유래했다. 왜 이러한 이름이 붙은 것일까? 피타고라스 본인이 피타고라스 정리를 최초로 발견한 사람이기 때문일까? 그렇지는 않다. 고대인들은 피타고라스가 태어나기 이전부터 이미 경험적으로 피타고라스 정리를 알고 있었다고 한다. 그 흔적을 따라가 보자. 미국 컬럼비아 대학교에는 ‘플림톤 322’라는 점토판이 소장되어 있다. 플림톤 322는 바빌로니아의 점토판으로 바빌로니아 수학에 관한 내용을 담은 것으로 유명하다. 이 점토판은 기원전 1800년경에 쓰여진 것으로 여겨지며, 4개의 열과 15개의 행으로 구성되어 있다. 전문가들은 이 점토판을 피타고라스 정리가 나타난 최초의 기록이라 본다. 플림톤322 위에 적혀 있는 상당수의 숫자들이 직각삼각형을 만족시키고 있으며 3 : 4 : 5와 같은 자연수 형태의 직각삼각형의 변의 길이까지 기록되어 있기 때문이다. 이를 근거로 우리는 피타고라스가 태어나기 이전부터 피타고라스의 정리가 적절히 사용되었음을 알 수 있다. ― 「피타고라스 정리의 유래」 중에서
이름에서도 알 수 있듯 삼각법과 삼각비는 삼각형에 바탕을 두고 있는 개념이다. 세 각을 측정한다는 것을 의미하는 ‘삼각법(Trigonometry)’은 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 따지는 데서 태어났고, ‘삼각비’는 직각삼각형의 세 변 중 두 변의 길이의 비를 생각해 보는 데서 태어났다. 여기서 우리는 삼각법의 대상은 삼각형이고, 삼각비의 대상은 직각삼각형임을 알 수 있다. 그런데 직각삼각형은 삼각형에 속하므로 삼각법은 삼각비를 품고 있다 할 수 있겠다. 이러한 삼각법은 처음에는 측량 응용 분야를 위해 사용되었다가 점점 측지학, 항해술, 천문학, 지구물리학 등으로 그 범위를 확장하여 활용되고 있다. 삼각법을 좀 더 구체적으로 알아보자. 삼각형에는 세 변의 길이와 세 각의 크기가 있다. 이것을 ‘삼각형의 6요소’라고 한다. 이 같은 6요소 중 적절한 세 변의 길이가 주어지거나, 한 변의 길이와 양 끝 각의 크기가 주어지거나 또는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지면 그 삼각형은 하나로 결정된다. 이를 ‘삼각형의 결정조건’이라고 한다. 삼각법은 이 같은 삼각형의 6요소 중 3요소가 주어졌을 때 나머지 3요소를 구하는 것을 일컫는다. ― 「삼각법은 뭐야?」 중에서
러시아의 작가 톨스토이(Lev Nikolayevich Tolstoy)가 쓴 『사람에게는 얼마만큼의 땅이 필요한가』라는 소설에는 다음과 같은 문장이 나온다. “해 뜰 무렵부터 해 질 녘까지 걸어서 그 자리로 다시 돌아온 만큼의 땅을 자네에게 주겠네.” 지주가 가난한 농부 바흠에게 던진 이 같은 말은 요즘처럼 경제적 불황이 심화된 시기에는 누구에게나 솔깃하게 들릴 것이다. 어쨌든 바흠은 처음엔 가벼운 마음으로 출발한다. 하지만 다시 없을 기회라는 생각에 그의 발걸음은 점점 빨라진다. 결국 그가 타는 듯한 햇빛 아래 안간힘을 써서 되도록 넓은 땅을 확보하고 출발지로 돌아오니 해 질 녘이 다 되었다. 그런데 이게 무슨 일인가? 자신의 욕심을 채우기 위해 무진 애를 쓰고 나니 과도한 노동에 지친 몸이 견뎌주질 않았다. 어처구니없게도 하루 내 걸었던 땅이 자신의 땅이 되려는 순간 바흠은 쓰러져 죽고 만다. 그리고 모든 일이 끝나고 나니 그에게 필요한 땅은 겨우 그가 죽은 뒤 묻히게 될 2에 불과했다. 우리는 이 소설에서 2가지 교훈을 얻을 수 있다. 하나는 ‘과유불급(過猶不及)’이다. 지나친 것은 미치지 못한 것과 같다는 뜻으로 욕심이 지나치면 화를 불러오므로 지나치지 않도록 조심해야 한다는 것을 의미한다. 또 하나는 르네상스 이후의 근대 철학자 베이컨(Francis Bacon)의 말, “아는 것이 힘이다.”이다. 바흠이 사각형이 아니라 원 모양으로 걸었다면 어쩌면 땅도 얻고 목숨도 건질 수 있었을지 모른다. 같은 넓이라 하더라도 원을 따라 걷는 것이 직사각형을 그리며 걷는 것보다 거리가 짧기 때문이다. ― 「톨스토이는 알고 있었을까?」 중에서
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책 소개
! 넌 유리수니 무리수니?
